4.1.1. A hossz paradoxona
Konkrét térképi elemek (partvonal, folyó) mérésénél már régen felfigyeltek arra, hogy a méretarány nagymértékben befolyásolja a mérési eredményeket. Az első ilyen - klasszikus - mérést még Penck végezte 1894-ben az Isztriai-félsziget partvonalának egy részére:
| méretarány | mért hossz
(km) |
|---|
| 1:15 000 000 | 105 |
| 1:3 700 000 | 132 |
| 1:1 500 000 | 157.6 |
| 1:750 000 | 199.5 |
| 1:300 000 | 190.6 |
| 1:75 000 | 223.81 |
4.1. táblázat Az Isztriai-félsziget partvonala különféle méretarányokban mérve.
A hossz paradoxona kifejezés Steinhaustól származik, aki a Visztula folyó partvonalára végzett Penckhez hasonló hosszméréseket, s úgy találta, hogy a méretarány növekedésével a mért hossz akár ezerszeresére is nőhet, de a valódi hossz tulajdonképpen nem állapítható meg. Az ismételt mérésekből egyre finomabb eszközökkel nyert hosszak rendszerint nem tartanak egy véges értékhez [46].
A hosszmérés gyakori nehézsége -leginkább partvonalak esetében- a mérendő jelenség pontos definiálása (mely tengerszinthez viszonyítunk, apály-dagály, hogyan definiáljuk a beltenger fogalmát, egy tölcsértorkolat esetében hol végződik a folyó és hol kezdődik a tenger, mi legyen a szigetekkel, mekkora a legkisebb öböl, amelyet figyelembe veszünk). Franciaország esetében például maximális dagálykor az ország egyébként szárazföldi területének 0.5 %-a víz alá kerül, azaz mind a partvonal hossza, mind az ország területe csak egy elméleti érték, mely csak egy adott pillanatra érvényes.
A probléma illusztrálására nézzük az alábbi hosszmérési eredményeket:
- Skócia partvonala [5], [12]:
- Karo (1956) 716 km
- Adams (1959) 3680 km
- Scottish Development Department (1973) 3840 km
- Baugh és Boreham (1976) 5340 km
- Ausztrália partvonala [17]:
- Australian Encyclopedia (1958) 19658 km
- Australian Handbook (1974) 19320 km
- Year Book of Australia (1974) 36735 km (a fenti mérések Tasmániával együtt értendők)
- Inman és Nordstrom (1971) 14900 km
- Stone (1974) 8000 km
- Gill (1975) 15800 km
A probléma forradalmian új megközelítése, illetve megoldása B. Mandelbrot francia matematikus nevéhez fűződik. Richardson [44] korábbi kísérleteit is felhasználva jutott el a későbbiekben bővebben ismertetett fraktálok világába.
Richardson a brit szigetek példáján kimutatta, hogy méréseink finomodásával a brit szigetek területe arányosan nő, azaz ha n a mérési egység, akkor a terület n2 -tel arányos, vagyis a brit szigetek területének van határértéke. Ugyanez viszont nem volt igaz a kerületre. A mérési egység finomodásával nem lineárisan nőtt a mért kerület, hanem körülbelül n1.25-szeresére, vagyis a brit szigetek kerületének nincs határértéke.
Mandelbrot a partvonalat ezért nem egy egyszerű egy dimenziós vonalnak tekintette, hanem a dimenzió számot a partvonal bonyolultságától függően egy 1 és 2 közé eső törtszámmal jellemezte; tehát a brit szigetek partvonala egy 1,25 dimenziós fraktál. Ha tehát ebben a mértékegységben (km1.25) mérjük meg a partvonalat, akkor lesz határértéke. Hasonlóan fraktálok a bonyolult felszínek is [19], [33], [38], [39].
© Zentai László
Vissza a Térképtudományi és Geoinformatikai Tanszék kezdőlapjára!