1. Bevezetés*

Magyarországon a GPS-technika alkalmazása a geodéziai gyakorlatban a 80-as évek végén, a 90-es évek elején kezdődött. Az elérhető nagy relatív pontosság és a mérési költségek kedvező alakulása miatt a GPS-technika a leghatékonyabb pontmeghatározási technikának bizonyult. Ezeknek az előnyöknek köszönhető, hogy pl. az Egységes Országos Vízszintes Alaphálózat (EOVA) IV. rendű pontsűrítési munkálatait ezzel a technikával fejezték be 1990 és 1992 között [4].

A GPS által használt geocentrikus koordinátarendszer és a Magyarországon alkalmazott (lokális elhelyezésű) ellipszoidi koordinátarendszer között az egymástól függetlenül létesített hálózat miatt nem lehet szabatos kapcsolatot létesíteni. Hazánkban a polgári geodéziai feladatok végrehajtására vezették be az Egységes Országos Vetületi Rendszert (EOV), amelynek vonatkozási rendszere a HD-72 (Hungarian Datum 1972). Annak érdekében, hogy a GPS-szel meghatározott WGS-84 vonatkozási rendszerben adott koordinátákat át tudjuk számítani az EOV-be, szükségünk van olyan pontokra, amelyek koordinátái ismertek mindkét vonatkozási rendszerben. Ezt célszerűen egy olyan GPS-hálózat kialakításával érhetjük el, amelynek pontjai ismertek az EOV-rendszerben is. Ekkor a legkisebb négyzetek módszerével meghatározhatjuk a transzformációs paramétereket, amelyek segítségével lehetőség van az újonnan meghatározott pontok GPS-koordinátáinak átszámítására az országos rendszerbe. Az Országos GPS-Hálózat (OGPSH) létrehozását az említett belső késztetés mellett olyan külső kényszer is indokolta, mint a kontinentális, ill. világhálózatokhoz való csatlakozás megteremtése.

A nemzetközi kapcsolat megteremtése érdekében került sor 1991-ben az ún. EUREF-EAST´91 mérési kampányra, melynek során öt magyarországi pont megmérésével csatlakoztunk az EUREF’89 (European Reference Frame) rendszerhez. Még ugyanebben az évben elvégezték ennek a hálózatnak az első sűrítését, amelynek eredményeképpen már 24, az EOV-ben ismert pont kapott műholdas koordinátát [5]. Ez a 24 pont képezi az OGPSH kerethálózatát, amelyek közül 13 egyúttal a Magyarországi Mozgásvizsgálati Hálózatnak is pontja [11]. Második lépésként a kerethálózat sűrítését hajtották végre 1995 és 1997 között. Ezek a pontok a kerethálózat rögzítésével kaptak koordinátákat, aminek eredményeként összesen 1154 pont kapott GPS-koordinátát [8]. Az OGPSH pontjai az EOVA pontjai közül kerültek kiválasztásra, amelyek a vizsgálatok során az EOVA-t képviselik. Az 1154 pontból 67 I. rendű, 118 III. rendű, míg a többi 969 IV. rendű, levezetett, illetve gravimetriai pont.

A hazai és a nemzetközi tapasztalatok szerint a GPS-hálózatok pontossága legalább egy nagyságrenddel haladja meg a hagyományos felsőrendű hálózatok pontossági mérőszámait [6], ezért jó alkalom kínálkozik a hagyományos hálózatunk pontossági vizsgálatára. Korábban már végeztek hasonló vizsgálatokat a doppleres hálózattal kapcsolatban [1,2], viszont mostani vizsgálatainknál egy sokkal nagyobb és lényegesen pontosabb adatállomány állt rendelkezésünkre. Bár a mintahalmaz a több mint 50 000 EOVA-pontnak csupán a 2%-át teszi ki, egyenletes eloszlása mégis alkalmassá teszi a hálózat átfogó vizsgálatára.

A vizsgálataink során az egyik adathalmazt a GPS-mérésekből származó geocentrikus rendszerre vonatkozó térbeli derékszögű koordináták adják. A másik adathalmazt a pontok EOV-sík-koordinátáival, a tengerszint feletti magasságával és a HD-72 dátumra vonatkozó geoidundulációval lehet jellemezni, amelyeket a transzformáció végrehajtásához térbeli derékszögű koordinátákká kell alakítani [14].

Az elvégzett vizsgálatokat két nagy csoportba lehet sorolni annak függvényében, hogy a pontokat egyszerre mekkora területről vonjuk be a számításokba. Abban az esetben, ha egy pontnak csak “szűk” környezetére terjesztjük ki vizsgálatainkat, akkor lokális transzformációról beszélünk. Ennek a “szűk” környezetnek a minimális nagyságát az szabja meg, hogy a transzformáció végrehajtásához rendelkezésünkre álljon a szükséges számú közös pont. Ha az ország egész területére egyetlen transzformációt hajtunk végre, akkor országos transzformációról beszélünk.

A lokális transzformáció alkalmazása esetén feltételezhetjük, hogy az országos háromszögelési hálózat torzulásaiból adódó eltérések a pont környezetében közel állandóak. Tehát a kiválasztott ponthoz legközelebb eső pontokról elmondhatjuk, hogy azok is hasonló nagyságú torzulásokat tartalmaznak. Mivel kis környezetben a torzulások hasonló nagyságúak, lokális transzformáció végrehajtásakor ezek hatása nem játszik szerepet. Így el tudjuk különíteni “csak” a pontokat terhelő hibákat a környezet torzító hatásától (ami viszont elsősorban a hagyományos hálózat kiegyenlítésének következménye).

A hagyományos geodéziában mérés- és számítástechnikai okokból általában elkülönül a vízszintes mérés a magasság meghatározásától. Ennek a hagyományos szemléletnek megfelelően először a vízszintes koordináták vizsgálatát végeztük el, majd utána a magasságértékeket elemeztük.

2.1 A vízszintes koordináták vizsgálata

Annak érdekében, hogy a pontleírásokon szereplő magassági értékekben lévő hibák hatása ne jelentkezzen a vízszintes koordináták vizsgálatakor, az EOV-oldalról egy olyan speciális koordináta-hármast hoztunk létre, mely az adott EOV-(y,x) koordinátapár mellett harmadik dimenziónak a GPS-mérésekből levezetett tengerszint feletti magasságot használja [13]. A GPS-gravimetriai módszerrel meghatározott GRS-80-ellipszoidra vonatkozó geoidunduláció-értékekből az IUGG-67 referenciaellipszoidra vonatkozó undulációt számítottunk [12].

A hálózat teszteléséhez készítettünk egy programot, amely először minden egyes ponthoz kiválasztja azon szomszédos pontokat, amelyek egy megadott távolságnál közelebb esnek. Ezt követően, minden ponthoz csak a szomszédos pontok koordinátáit felhasználva meghatároztuk a lokális transzformációs paramétereket a térbeli hasonlósági transzformáción alapuló Burš a-Wolf modellel, amelyet a szakirodalomban térbeli Helmert-transzformációnak is neveznek [1]. Tehát a vizsgált pont koordinátáit nem vontuk bele a paraméterek számításába, így a paraméterek értékeit függetlenítettük a vizsgált pont adataitól. Az így kapott lokális átszámítási együtthatókkal és az ismert vetületi egyenletekkel, a vizsgálati pont GPS-koordinátáiból meghatároztuk az EOV- sík-koordinátákat. A transzformált EOV-koordinátákat hasonlítottuk össze a pontleírásokon szereplő eredeti koordinátákkal.

A transzformációk csak akkor adnak reális eredményt, ha a bevont alappontok jól reprezentálják a hálózatot, tehát csak a megengedett hibával terheltek. Éppen ezért ügyelni kell arra, hogy azoknak a pontoknak a negatív hatása, amelyeknél nagy vízszintes irányú eltérést kaptunk, ne jelentkezzen a környező pontok vizsgálatánál. Ezeknek a pontoknak a kiszűrését csak közelítéssel lehet megoldani.

A lokális transzformáció pontosságát jelző egyik mérőszám az eredeti és a transzformált EOV-koordináták különbsége. Ebből a három koordináta-különbségből képezhetjük az ún. lineáris eltérést, amelynek értéke megmutatja, hogy mennyire illeszkedik a vizsgálati pont a szomszédos pontok közé.

Az első lépésben mind az 1154 pontra elvégeztük a lokális transzformációt, melynek végrehajtására a pont húsz km sugarú környezetébe eső szomszédos pontokat vontuk be. Az eredmények azt mutatták, hogy 35 pont esetében a lineáris eltérés vízszintes komponense meghaladta a 12 cm-es értéket, ezért ezeket a pontokat a további vizsgálatokból kihagytuk.

A lokális transzformáció pontosságát jelző másik mérőszám, a transzformációs paraméterek meghatározásába bevont környező pontokra számítható javítási értékek átlaga. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a kiszámított átszámítási együtthatókkal visszatranszformáljuk a környező pontokat, és összehasonlítjuk az eredeti koordinátákkal. Ez az átlagos érték nagyon jó jellemzést ad arról, hogy azon a környéken mekkora pontosságot várhatunk el a lokális transzformációtól.

A második lépésben a megmaradt 1119 pont bevonásával végeztük el a transzformációt szintén húsz km sugarú környezetben. A kiszűrési elven kis módosítást hajtottunk végre. Ebben az esetben azon pontok estek ki a további számításból, ahol a pontbeli lineáris eltérés hat cm-rel meghaladta a pont környezetéből számítható átlagos javítási értéket. Tehát a pontbeli lineáris eltérés nem érte el a 12 cm-es értéket, de sokkal gyengébben illeszkedik a transzformációhoz, mint a környezete. A fenti követelménynek összesen 23 pont nem felelt meg.

A következő esetben öt cm-ben állapítottuk meg az átlagtól való eltérést, mint küszöbértéket. Ennek a feltételnek további 19 pont nem felelt meg.

Összesen 1077 pont felelt meg a fenti kritériumoknak (a teljes OGPSH 93%-a), míg a kieső 77 pontra a GPS-koordinátákból lokális transzformációval meghatároztuk a legvalószínűbb EOV-koordinátákat. A további vizsgálatokat az így megmaradt 1077 darab pont felhasználásával végeztük el, amelyekről elmondható, hogy valóban az EOV-alaphálózatot jellemzik jelentős pontbeli hibák nélkül.

2.11 A pontonkénti hibák statisztikája

Az eredeti és a transzformált EOV-koordináták különbségeiből képezhető lineáris eltérések vízszintes komponenseit nagyság szerint különböző kategóriákba soroltuk (I .táblázat). A kiszűrt pontokat azzal az értékkel soroltuk be, amelyikkel kiestek a további számításokból (zárójelben megadtuk, hogy mennyi kiesett pont tartozik az egyes kategóriákba).

I. táblázat: Lineáris eltérések vízszintes komponenseinek eloszlása

A táblázatból kiolvasható, hogy a pontok 41%-ánál az eltérés kisebb, mint 3 cm, sőt a pontok 93%-ánál kisebb 9 cm-nél. Az eltérések átlaga 3,5 cm, ami arra utal, hogy az EOV-koordináták pontossága igen jó. (A IV. rendű hálózat előírt relatív pontossága 1:50 000 ami az 1,5-2 km távolságban lévő szomszédos pontok esetében 3-4 cm-t jelent, de ne feledjük, hogy az OGPSH-pontok átlagosan tíz km-re vannak egymástól.) A pontok 3%-nál azonban a lineáris eltérés értéke meghaladta a 12 centimétert. A pontok egy részénél sikerült rámutatni a nagy eltérés okára, újraállandósítás, áthelyezés, OP ideiglenes koordinátája stb., de több pont esetében nem találtunk elfogadható magyarázatot. Ezek kiderítése további vizsgálatokat igényel.

2.12 Az EOVA hibáinak területi eloszlása

A fenti szűrés után megmaradt 1077 pont mindegyikére elvégeztük a lokális transzformációt. A két hálózat egymásra illeszthetőségének a pontosságát az átlagos lineáris eltérés jellemzi, ezért érdemes megvizsgálni ennek területi eloszlását. Mivel az OGPSH kiegyenlítésének eredményei [9] azt mutatják, hogy a GPS-koordináták hibája kisebb 1 cm-nél, az átlagos lineáris eltérés lényegében az EOVA pontosságát jellemzi. A minden pontra meghatározott lineáris eltérések átlagos értékéből izovonalas ábrát szerkesztettünk (1. ábra).

A továbbiakban azt vizsgáltam meg, vajon a negyedrendű pontsűrítésre alkalmazott technológia illetve a lineáris eltérés átlagos értéke (ami a hálózat pontosságát reprezentálja) mutat-e valamilyen egyezőséget. A negyedrendű pontmeghatározást az ötvenes években kezdték el, kizárólag irányméréses háromszögeléssel, majd a hatvanas évek közepétől kezdve áttértek a távméréses háromszögelésre és a hosszúoldalú sokszögelésre [10]. Végül a kilencvenes évek elején GPS-technikával fejezték be a negyedrendű pontsűrítést [4].

A szerkesztett izovonalas ábrán látható, hogy a legnagyobb értékek az ország északkeleti térségében, illetve Dél-Dunántúlon a horvát határ mentén találhatók. Az előbbi helyen a lineáris eltérés átlagos értéke néhol a nyolc centimétert is meghaladja, míg az utóbbi területen hét centiméter körüli. A negyedrendű alappontsűrítés munkálatait az említett területeken a hagyományos irányméréses háromszögeléssel végezték, ahol a mérésekhez szükséges összelátások biztosítására fából készült pontjeleket használtak. Ennél a technikánál a legveszélyesebb hibaforrást a külpontossági elemek meghatározása jelentette. A legkisebb eltérések az ország középső részén a Hajdúságban, illetve Nyugat-Dunántúlon találhatók, nagyjából azokban a térségekben, ahol a negyedrendű alappontsűrítést GPS-technikával hajtották végre [4].

Az ábra tehát jól tükrözi az EOVA létesítésénél alkalmazott technológiát is, de az is leolvasható róla, hogy várhatóan milyen pontossággal lehet meghatározni egy pont EOV koordinátáit az adott területen, ha azt GPS-mérésekből vezetjük le.

2.13 A méretarány-tényező területi eloszlása

Ezután az 1077 pontra elvégzett lokális transzformáció paraméterei közül a méretarány-tényezőt választottuk ki, amelynek területi eloszlására szintén szerkesztettünk egy izovonalas ábrát (2. ábra). Az ábráról szembetűnik a méretarány-tényező kiugró értéke a Nyugat-Dunántúlon. Itt néhány pontban az eltérés meghaladja a –7 ppm-es értéket, azaz kilométerenként több mint 7 mm eltérés található a GPS-koordinátákból illetve a HD-72 rendszerre vonatkozó térbeli derékszögű koordinátákból számítható távolságok között. De általában az egész Dunántúlra jellemző az aránylag nagy negatív érték. A másik ilyen szembetűnő terület Nógrád megyében található, ahol a méretarány-tényező értéke viszont +4 ppm értéket haladja meg. Ezzel szemben a Duna-Tisza köze és a Tiszántúl nagy részén a méretarány-tényező érteke nulla ppm körül mozog. Az eredmény értelmezésére vonatkozó vizsgálatokat folytatjuk.

A vizsgálatba az OGPSH 1152 pontját sikerült bevonni, mivel két pont esetében a pontleírásokon nem szerepelt magasság. A pontok közül 331 magasságát határozták meg szintezéssel a többit pedig trigonometriai magasságméréssel. Bonyolította még a helyzetet, hogy egyes szintezett pontok magasságai EOMA rendszerben, másoké pedig Balti rendszerben voltak megadva.

Feladatunkat ebben az esetben is a hibás magasságú pontok kiszűrésével kezdtük. A kiszűrési feltétel a lineáris eltérés vertikális komponensére vonatkozott. A kiszűrési hiba-

határt először 30 majd 20 cm-ben állapítottuk meg. Az előbbi feltételnek 20 pont nem felelt meg, míg az utóbbinak további 46, tehát összesen 66 pont esett ki a hibaszűrés során. A magassági hibák nagyságának eloszlására az alábbi statisztikát kaptuk (II. táblázat). Zárójelben itt is megadtuk a kiesett pontok besorolását.

A táblázat alapján szembetűnő, hogy a pontok több mint felénél kisebb a magassági eltérés 5 cm-nél és 15 cm-nél kisebb eltérést mutat a pontok több mint 90%-a. Ha tekintetbe vesszük, hogy pl. a negyedrendű hálózatban a magassági eltérés megengedett értéke egy irányban végzett mérésnél 16t [cm], oda-vissza végzett mérésnél 10t [cm] (ahol t a mért oldal hossza km-ben) [15], akkor a pontok többségénél lényegesen a hibahatár alatti értékeket kapunk. Néhány pontnál akadt fél métert is meghaladó eltérés, a maximális érték pedig két métert is elérte. Az eltérések okainak kivizsgálása folyamatban van.

A szintezett pontok majd háromnegyedénél az eltérés kisebb 5 cm-nél és 15 cm-t meghaladó eltérés összesen 4 darab akadt (a maximális eltérés 37 cm volt). Meg kell még jegyezni, hogy ezek a vizsgálatok nem adnak ellenőrzést a magassági alappont-hálózatra, mivel az OGPSH pontjai a vízszintes alappontok közül lettek kiválasztva.

3. Vizsgálatok országos transzformáció alkalmazásával

Ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy milyen torzulásai vannak az EOVA-nak a GPS-hálózathoz képest, akkor egyetlen országos transzformációt kell végezni. Ilyen vizsgálatok már korábban is készültek [3], de akkor még nem állt rendelkezésre a teljes OGPSH. Burš a-Wolf-transzformáció elvégzése után a lineáris eltérések vízszintes komponensei láthatók a 3. ábrán. Látható, hogy az eltérésvektorok nagysága az ország közepétől a szélek felé távolodva fokozatosan növekszik, és az országhatár mentén néhol meghaladja a 40 cm-es értéket. Nagyon érdekes jellemzője az ábrának, hogy az eltérésvektorok a Dunántúlon mind “befelé” mutatnak, míg a Dunától keletre “örvénylő” jelleget mutatnak. Ezek kiderítése további vizsgálatokat igényel. Az ábrán nagyon jól felismerhetők még a kiszűrt pontok, mivel ezek eltérésvektora nem illeszkedik a környezetükhöz.

Felvetődött a kérdés, vajon nagyobb pontossággal hajtható-e végre a transzformáció, ha nem vonnánk be az összes pontot a számításokba, hanem pl. csak a felsőrendű pontokat. Ezért az OGPSH pontjai közül először kiválogattuk a felsőrendű pontokat, majd a továbbiakban ezt a halmazt tovább szűkítettük az I. rendű pontokra. Elvégeztük a transzformációt mindkét esetben és elmondhatjuk, hogy teljesen hasonló jellemzőket kaptunk, mint az összes pont bevonásával. Pl. a lineáris eltérés átlagos értéke az összes pontra 0,174 m, a felsőrendű pontokra 0,194 m, míg az I. rendűekre 0,181 m. A maximális eltérés mindhárom esetben fél méter körül volt. Hasonló eredmények adódtak már az OGPSH kerethálózatára elvégzett vizsgálatokból is [7].

Megállapíthatjuk tehát, hogy transzformált koordináták csak csekély mértékben függnek a kiválasztott pontok számától, ha azok egyenletesen fedik le az ország területét. A pontokat rendűségüktől függetlenül, azonos megbízhatósággal használhatjuk fel a transzformációhoz.

1 Ádám J.: A doppleres és a geodéziai alaphálózatunk közötti transzformáció vizsgálata = Geod. és Kart. 1982/2.

2 Ádám J.: A műholdas Doppler-technika szerepe geodéziai alaphálózatunk továbbfejlesztésében = Geod. és Kart. 1987/3.

3 Ádám J. – Borza T.: The GPS Networks and Their Comparison with the Traditional Network of Hungary. Reports on Geodesy, 1995(3).

4 Borza T. – Busics I. – Marton Cs. – Szarka T.: Az első GPS-szel végzett negyedrendű pontsűrítés feldolgozása.= Geod. és Kart. 1991/3.

5 Borza T. – Busics I.: GPS-hálózati mérések Magyarországon = Geod. és Kart. 1992/1.

6 Borza T.: A GPS-technika jelene és jövője Magyarországon = Geod. és Kart. 1992/6.

7 Borza T.: Alaphálózati kérdések a GPS-korszakban = Geod. és Kart. 1993/3.

8 Borza T.: Elkészült az Országos GPS-hálózat = Geod. és Kart. 1998/1.

9 Borza T. – Kenyeres A. – Németh Zs. – Virág G.: Az Országos GPS Hálózat létesítése. FÖMI Kutatási jelentés, 1998.

10 Bölcsvölgyi F.: Az új országos negyedrendű vízszintes alapponthálózatunk létesítésének programja = Geod. és Kart. 1988/1.

11 Gazsó M. – Borza T. – Busics I. – Fejes I.: A GPS-Mozgásvizsgálati Program és földtani alapjai Magyarországon = Geod. és Kart. 1992/2.

12 Heiskanen, W. A. – Moritz, H.: Physical Geodesy. W. H. Freeman and Comp. San Francisco, 1967.

13 Kenyeres A. – Seeman J.: Az OGPSH-pontok tengerszint feletti magasságának meghatározása GPS-technikával = Geod. és Kart. 1999/1.

14 Mihály Sz.: A magyarországi geodéziai vonatkozási és vetületi rendszerek leíró katalógusa = Geod. és Kart. 1994/4.

15 Szabályzat az országos negyedrendű vízszintes alappontok létesítésére. Budapest, 1977.

Finally, a national transformation was performed to study the characteristics of the traditional network and a vector map was made for the residuals of transformation.