2. Történeti áttekintés

A vetületek alkalmazásának kérdése nem újkeletű probléma: a gyökerek az ókorba nyúlnak vissza. Érdekes módon eleinte nem a földi viszonyok ábrázolásakor - mivel ekkor a Földet még korong formájúnak fogták fel - hanem a csillagtérképeknél került elő az égbolt - mint (fél)gömb - síkban való ábrázolása.

Az első vetületek egyszerű perspektivikus vetületek voltak: a gnomonikus, illetve az ortografikus síkvetület. Az előbbi létjogosultságát a szemléletesség adja, hiszen a vetítési középpont az égboltot figyelő ember álláspontjának felel meg. Megalkotását Thálésznak (kb. i.e. 624 - kb. i.e. 564) tulajdonítják. Az ortografikus vetületet lehet, hogy már az egyiptomiak is alkalmazták, de az irodalomban általában Apollónioszt (kb. i.e. 262 - kb. i.e. 190) és Hipparkhoszt (kb. i.e. 190 - kb. i.e. 125) jelölik meg feltalálójaként. Egyes korai csillagtérképeknél pedig valószínűleg a meridiánban hossztartó (ma: Postel-féle) síkvetületet alkalmazták. Hipparkhoszig vezethető vissza a sztereografikus vetület története is.

A vetületek földi alkalmazásának hosszú előtörténete van. Az első fontos lépcső a Föld gömb alakjának felismerése. Ezt először Püthagorasz (kb. i.e. 560 - i.e. 480) tanítványai tételezték fel, filozófiai alapon: mivel a gömb a tökéletes forma, a Földnek is ilyennek kell lennie. Később ez a felfogás vezetett a klímazónák gondolatához (Parmenidész, kb. i.e. 480). Ezen zónák elhatárolása is elősegítette a szélességi körök fogalmának megjelenését, így a fokhálózat kialakulását.

2.1. ábra: Ptolemaiosz 1. vetülete

2.2. ábra: Ptolemaiosz 2. vetülete

Arisztotelész tanítványa, Dikaiarkhosz (kb. i.e. 336 - i.e. 296) rajzolta meg az első olyan térképet, amelyen felfedezhető a koordinátarendszer csírája: két, egymást merőlegesen metsző vonal, melyek egy szélességi körnek és egy meridiánnak felelnek meg, metszéspontjukban Rodosz áll. Ezt a szerkezetet alkalmazta Eratoszthenész is térképén, melyen valószínűleg már több szélességi kört, és meridiánt is ábrázolt, bár nem egyenletes beosztással. Később Türoszi Marinosz (i. sz. 100 körül) rajzolta ez első olyan térképet, melyen egyenközű koordináta-rendszer volt. Ezeknek a térképeknek a vetülete így a négyzetes hengervetület volt, anélkül persze, hogy alkotóik a hengert, mint közvetítő felületet alkalmazták volna.

A gömb síkbafejtésénél elkerülhetetlen torzulások csökkentésének célja Ptolemaiosz Geographikájában jelenik meg először. Könyvében olyan vetületek szerkesztését mutatja be, melyeknél a hossztartóság, és a "hasonlósági elv" (alak-hűség) jobban érvényesül, mint Marinosz térképén. Első vetülete meridiánban hossztartó kúpvetület, a második leginkább a Bonne-féle képzetes kúpvetülethez hasonlít (2.1-2. ábrák). Ptolemaiosz leírta egy harmadik vetület szerkesztésének menetét is, ezt a vetületet azonban nem javasolta konkrét térképek szerkesztéséhez, inkább csak az oikumenének a földgömbön való elhelyezkedését akarta vele szemléltetni.

2.3. ábra: Bacon vetülete

A középkort a vetülettan fejlődése szempontjából joggal nevezhetjük "sötét"-nek. Ptolemaiosz Geographikája Európában feledésbe merült, és a katolikus egyház hatalmának kiszélesedésével az egész Földet ábrázoló térképek a meglehetősen elvont és sematikus O-T formát követték. A hajósok által használt úgynevezett portolántérképeknek az újabb kutatások alapján talán volt valamiféle vetülete, a fokhálózat azonban nem volt rájuk felszerkesztve. Egy-két elszigetelt próbálkozásról tudunk: a ptolemaioszi örökséget megőrző arab kultúrában al-Bírúni (973-1050), aki perspektivikus vetületek szerkesztésével foglalkozott, illetve Roger Bacon (1214-1294), aki egy, a korabeli körtérképekbe illeszkedő vetület leírását adta meg (2.3. ábra).

2.4. ábra: Mercator vetülete

Sok más tudományhoz hasonlóan a modern térképészet, és azon belül a vetülettan kialakulása is a reneszánszhoz köthető. A török elől Itáliába menekülő bizánciak magukkal vitték a náluk őrzött Geographikát, amit aztán a XV. század elején le is fordítottak latinra. Az ez idő tájt feltalált könyvnyomtatás nagy lökést adott a mű ismertté válásának: 1475-ös megjelenésétől a XVI. század végéig 30 kiadást ért meg. A vetülettanban ekkor két fő alapgondolat játszott irányító szerepet: a festészet által felfedezett és alkalmazott perspektivikus ábrázolás, illetve az optimalizálási elv. Ez utóbbinak egyik igen fontos mérföldköve Gerardus Mercator (1512-94) vetülete (2.4. ábra), amely évszázadokig alapvető jelentőségű volt a tengeri hajózásban, mint az egyetlen olyan vetület, melyen a loxodrómák egyenesként jelennek meg. Jelentőségéből még ma sem vesztett, hiszen a Gauss-Krüger (GK), illetve a Universe Transvers Mercator (UTM) vetületi rendszerek alapjául is ez szolgál.

A perspektív vetületek közül a sztereografikus vetületet Rumold Mercator tette népszerűvé, miután 1595-ben atlaszában világtérkép vetületeként alkalmazta. Az ortografikus vetületet Albrecht Dürer (1471-1528) alkalmazta először világtérkép készítésénél, normál és transzverzális helyzetben is.

2.5. ábra: Mercator-Sanson vetület

2.6. ábra: Mollweide vetülete

Jelen dolgozat témájának, az Érdi-Krausz-féle vetületnek a gyökerei is Mercatorig nyúlnak vissza: 1569-ben ő alkalmazta először a később Mercator-Sanson, illetve Sanson-Flamsteed néven ismertté vált szinuszoidális hengervetületet (2.5. ábra), mely egyik kiindulási alapja Érdi-Krausz munkájának. (Nicolaus Sanson francia térképész, John Flamsteed pedig angol királyi csillagász volt; e vetület nekik köszönheti széleskörű elterjedését). A másik kiinduló vetület előzményei még korábbiak: Peter Apianus (1495-1552) II. vetületének átalakításával készült 1805-ben Karl Mollweide máig használt vetülete (2.6. ábra). (Apianus II. vetületében mind az Egyenlítő, mind a középmeridián osztása egyenközű volt, viszont a vetület nem volt területtartó. Mollweide a középmeridián osztásközeit módosította úgy, hogy a területtartás az egész vetületre teljesüljön). Rajtuk kívül megemlítendő még ebből a korból Postel, aki 1581-ben alkalmazta a később róla elnevezett meridiánban hossztartó síkvetületet. Ez a vetület ma is gyakran használt, főleg a sarkvidékek ábrázolásánál.

Mollweide vetülete, illetve a Mercator-Sanson-féle vetület is a képzetes hengervetületek körébe tartozik, melyeknek egyik fontos tulajdonsága, hogy a szélességi körök képei párhuzamos egyenesek. Emiatt a tulajdonság miatt egyszerűen lehet belőlük összetett vetületeket készíteni: két különböző vetületből összeállítani egy harmadikat úgy, hogy a pólusok környékén és az Egyenlítő körül más és más a vetületi egyenlet. Ez a megoldás akkor előnyös, ha az egyik vetület torzulásai a magas, míg a másiké az alacsony szélességeken kedvezőek. Ezzel a gondolattal többen is foglalkoztak, közülük a legismertebbek Goode és Érdi-Krausz.

2.7. ábra: Goode vetülete

J. P. Goode 1925-ben közölte első ránézésre kissé szokatlan vetületét (2.7. ábra). A Mercator-Sanson-féle vetülethez a 40. szélességi körök környékén a Mollweide-féle vetületet illesztette. (Pontosan 40,74°-nál - ez ugyanis Mollweide vetületének a hossztartó parallel köre). Mivel mindkét kiinduló vetület területtartó, így a belőlük készült összetett vetület is az. A szokatlan megjelenés annak köszönhető, hogy Goode a vetületet több kezdőmeridiánnal rajzolta meg, hogy a kontinensek területén csökkentse a torzításokat. Ennek ára az óceánok "szétszakadása" lett. Emiatt ezt a vetületet főleg olyan tematikus ábrázolásoknál alkalmazzák, melyek a szárazföldekre vonatkoznak.

2.8. ábra: Érdi-Krausz vetülete

Érdi-Krausz György Budapesten született, 1899-ben. A Berlin-charlottenburgi egyetemen szerzett 1924-ben közlekedésmérnöki diplomát. 1938-ig tanácsadó mérnökként dolgozott. A Honvéd Térképészeti Intézet megalakulása után vetületi problémák megoldásával foglalkozott. A magyar repülőszolgálatnál navigációs szakértőként segítette a munkát. 1950-től a Közlekedés- és Postaügyi Minisztériumnál dolgozott, majd a Vasúti Tudományos Kutató Intézethez került. 1957-ben a MÁV-tól vonult nyugdíjba. Ezután három évig a Kartográfiai vállalatnál foglalkozott vetületek szerkesztésével. Emellett megbízott előadóként több tárgyat is tanított az ELTE Térképtudományi Tanszékén. Több jegyzetet is írt; fő műve a "Vetületanalízis" c. könyv. Foglalkozott még az űrhajózással és a mesterséges holdak megfigyelésével is. A TIT Űrhajózási Bizottságának alapító tagja, később az ebből kifejlődött MTESZ Asztronautikai Szakoszály ügyvezető titkára. Kitűnő előadó volt, rendszeresen tartott előadásokat a TIT, a Munkásakadémia és a József Attila Szabadegyetem szervezésében. 1972-ben, 73 évesen hunyt el.

Érdi-Krausz György 1960-ban közölt vetületét a Mollweide-féle vetület és a Mercator-Sanson-féle vetület egy transzformáltjának összeillesztésével szerkesztette, és az illesztést a 60. vagy a 70. szélességi kör mentén végezte. Mivel az illesztéshez az egyes vetületrészeket különböző mértékben kellett nagyítani, a pólusok területén más méretaránnyal kell számolni, mint az alacsony szélességeken. A másik szépséghiba, hogy az illesztésnél a meridiánok vonala megtörik (kb. 10°-ot). A törés, ami a 2.8. ábrán jól megfigyelhető, az atlaszlapokon nem túl feltűnő, ugyanis a térképrajzolók "lecsalják": ívesen rajzolják a megfelelő vonalszakaszt. Ezektől a hiányosságoktól függetlenül a vetület jól használható, pl. a Cartographia különböző atlaszaiban is rendszeresen használják az egész Föld bemutatására.